二叉树基础
树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家谱、单位的组织架构、等等。
树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
树具有以下特点：
- 每个结点有零个或多个子结点；
- 没有父结点的结点为根结点；
- 每一个非根结点只有一个父结点；
- 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；
树的相关术语
- 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
- 叶结点：度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
- 分支结点：度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
- 结点的层次：从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
- 结点的层序编号：将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数
- 树的度：树中所有结点的度的最大值
- 树的高度(深度)：树中结点的最大层次
- 森林：m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根 结点，森林就变成一棵树
- 孩子结点：一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
- 双亲结点(父结点)：一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
- 兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点
二叉树的基本定义
二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)
满二叉树
二叉树除了叶结点外所有节点都有两个子节点。
对于满二叉树而言，叶子的个数等于内部结点（非叶结点）+1，写作 L = l + 1
完全二叉树
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
（A）（B）为完全二叉树，（C）（D）不是完全二叉树
斜二叉树
所有的节点只有左子树的称为左斜树,所有节点只有右子树的二叉树称为右斜树
二叉查找树的创建
根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们设计一个结点类来描述结点这个事物。
private class Node<Key,Value>{ //存储键 public Key key; //存储值 private Value value; //记录左子结点 public Node left; //记录右子结点 public Node right; public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) { this.key = key; this.value = value; this.left = left; this.right = right; } }
二叉查找树API设计
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> { //记录根结点 private Node root; //记录树中元素的个数 private int N; private class Node { //存储键 public Key key; //存储值 private Value value; //记录左子结点 public Node left; //记录右子结点 public Node right; public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) { this.key = key; this.value = value; this.left = left; this.right = right; } } //获取树中元素的个数 public int size() { return N; } }
插入方法put实现思想：
- 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
- 如果当前树不为空，则从根结点开始：如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
- 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
- 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。
//向树中添加元素key-value public void put(Key key, Value value) { root = put(root, key, value); } //向指定的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树 private Node put(Node x, Key key, Value value) { //如果x子树为空， if (x==null){ N++; return new Node(key,value, null,null); } //如果x子树不为空 //比较x结点的键和key的大小： int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp>0){ //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树 x.right = put(x.right,key,value); }else if(cmp<0){ //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树 x.left = put(x.left,key,value); }else{ //如果key等于x结点的键，则替换x结点的值为value即可 x.value = value; } return x; }
查询方法get实现思想：从根节点开始：
- 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
- 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
- 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
//查询树中指定key对应的value public Value get(Key key) { return get(root,key); } //从指定的树x中，查找key对应的值 public Value get(Node x, Key key) { //x树为null if (x==null){ return null; } //x树不为null //比较key和x结点的键的大小 int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp>0){ //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树 return get(x.right,key); }else if(cmp<0){ //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树 return get(x.left,key); }else{ //如果key等于x结点的键，就找到了键为key的结点，只需要返回x结点的值即可 return x.value; } }
删除方法delete实现思想：
- 找到被删除结点；
- 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
- 删除右子树中的最小结点
- 让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
- 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
//删除树中key对应的value public void delete(Key key) { delete(root, key); } //删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树 public Node delete(Node x, Key key) { //x树为null if (x==null){ return null; } //x树不为null int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp>0){ //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树 x.right = delete(x.right,key); }else if(cmp<0){ //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树 x.left = delete(x.left,key); }else{ //如果key等于x结点的键，完成真正的删除结点动作，要删除的结点就是x； //让元素个数-1 N--; //得找到右子树中最小的结点 if (x.right==null){ return x.left; } if (x.left==null){ return x.right; } Node minNode = x.right; while(minNode.left!=null){ minNode = minNode.left; } //删除右子树中最小的结点 Node n = x.right; while(n.left!=null){ if (n.left.left==null){ n.left=n.left.right; break; }else{ //变换n结点即可 n = n.left; } } //让x结点的左子树成为minNode的左子树 minNode.left = x.left; //让x结点的右子树成为minNode的右子树 minNode.right = x.right; //让x结点的父结点指向minNode x = minNode; } return x; }
查找二叉树中最小的键
在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，比如我们的树中存储的是学生的排名和姓名数据，那么需要查找出排名最低是多少名？这里我们设计如下两个方法来完成：
//查找整个树中最小的键 public Key min(){ return min(root).key; } //在指定树x中找出最小键所在的结点 private Node min(Node x){ //需要判断x还有没有左子结点，如果有，则继续向左找，如果没有，则x就是最小键所在的结点 if (x.left!=null){ return min(x.left); }else{ return x; } }
查找二叉树中最大的键
在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最大值，比如比如我们的树中存储的是学生的成绩和学生
的姓名，那么需要查找出最高的分数是多少？这里我们同样设计两个方法来完成：
//在整个树中找到最大的键 public Key max(){ return max(root).key; } //在指定的树x中，找到最大的键所在的结点 public Node max(Node x){ //判断x还有没有右子结点，如果有，则继续向右查找，如果没有，则x就是最大键所在的结点 if (x.right!=null){ return max(x.right); }else{ return x; } }
二叉树遍历
很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问题
我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：
- 前序遍历；先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
- 中序遍历；先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
- 后序遍历；先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点 如果我们分别对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下
前序遍历
添加前序遍历的API：
public Queue<Key> preErgodic()使用前序遍历，获取整个树中的所有键private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys)使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中实现过程中，我们通过前序遍历，把每个结点的键取出，放入到队列中返回即可。实现步骤：
- 把当前结点的key放入到队列中;
- 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
- 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
//使用前序遍历，获取整个树中的所有键 public Queue<Key> preErgodic(){ Queue<Key> keys = new Queue<>(); preErgodic(root,keys); return keys; } //使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中 private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys){ if (x==null){ return; } //1.把当前结点的key放入到队列中; keys.enqueue(x.key); //2.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树 if (x.left!=null){ preErgodic(x.left,keys); } //3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树 if (x.right!=null){ preErgodic(x.right,keys); } }
//测试代码 public class Test { public static void main(String[] args) throws Exception { BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>(); bt.put("E", "5"); bt.put("B", "2"); bt.put("G", "7"); bt.put("A", "1"); bt.put("D", "4"); bt.put("F", "6"); bt.put("H", "8"); bt.put("C", "3"); Queue<String> queue = bt.preErgodic(); for (String key : queue) { System.out.println(key+"="+bt.get(key)); } } }
中序遍历
添加前序遍历的API：
public Queue<Key> midErgodic() 使用中序遍历，获取整个树中的所有键
private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys) 使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
实现步骤：
- 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
- 把当前结点的key放入到队列中;
- 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
//使用中序遍历获取树中所有的键 public Queue<Key> midErgodic(){ Queue<Key> keys = new Queue<>(); midErgodic(root,keys); return keys; } //使用中序遍历，获取指定树x中所有的键，并存放到key中 private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys){ if (x==null){ return; } //先递归，把左子树中的键放到keys中 if (x.left!=null){ midErgodic(x.left,keys); } //把当前结点x的键放到keys中 keys.enqueue(x.key); //在递归，把右子树中的键放到keys中 if(x.right!=null){ midErgodic(x.right,keys); } }
//测试代码 public class Test { public static void main(String[] args) throws Exception { BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>(); bt.put("E", "5"); bt.put("B", "2"); bt.put("G", "7"); bt.put("A", "1"); bt.put("D", "4"); bt.put("F", "6"); bt.put("H", "8"); bt.put("C", "3"); Queue<String> queue = bt.midErgodic(); for (String key : queue) { System.out.println(key+"="+bt.get(key)); } } }
后序遍历
public Queue<Key> afterErgodic()使用后序遍历，获取整个树中的所有键
private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys)使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中实现步骤：
- 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
- 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
- 把当前结点的key放入到队列中;
//使用后序遍历，把整个树中所有的键返回 public Queue<Key> afterErgodic(){ Queue<Key> keys = new Queue<>(); afterErgodic(root,keys); return keys; } //使用后序遍历，把指定树x中所有的键放入到keys中 private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys){ if (x==null){ return ; } //通过递归把左子树中所有的键放入到keys中 if (x.left!=null){ afterErgodic(x.left,keys); } //通过递归把右子树中所有的键放入到keys中 if (x.right!=null){ afterErgodic(x.right,keys); } //把x结点的键放入到keys中 keys.enqueue(x.key); }
//测试代码 public class Test { public static void main(String[] args) throws Exception { BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>(); bt.put("E", "5"); bt.put("B", "2"); bt.put("G", "7"); bt.put("A", "1"); bt.put("D", "4"); bt.put("F", "6"); bt.put("H", "8"); bt.put("C", "3"); Queue<String> queue = bt.afterErgodic(); for (String key : queue) { System.out.println(key+"="+bt.get(key)); } } }
二叉树的层序遍历
所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：
那么层序遍历的结果是：
EBGADFHC
我们在创建的树上，添加层序遍历的API
public Queue<Key> layerErgodic() 使用层序遍历，获取整个树中的所有键实现步骤：
- 创建队列，存储每一层的结点；
- 使用循环从队列中弹出一个结点：
- 获取当前结点的key；
- 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
- 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中
//使用层序遍历，获取整个树中所有的键 public Queue<Key> layerErgodic(){ //定义两个队列，分别存储树中的键和树中的结点 Queue<Key> keys = new Queue<>(); Queue<Node> nodes = new Queue<>(); //默认，往队列中放入根结点 nodes.enqueue(root); while(!nodes.isEmpty()){ //从队列中弹出一个结点，把key放入到keys中 Node n = nodes.dequeue(); keys.enqueue(n.key); //判断当前结点还有没有左子结点，如果有，则放入到nodes中 if (n.left!=null){ nodes.enqueue(n.left); } //判断当前结点还有没有右子结点，如果有，则放入到nodes中 if (n.right!=null){ nodes.enqueue(n.right); } } return keys; }
二叉树的最大深度问题
需求：给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）
上面这棵树的最大深度为4。
实现：
我们在创建的树上，添加如下的API求最大深度：
public int maxDepth()：计算整个树的最大深度private int maxDepth(Node x):计算指定树x的最大深度实现步骤：
- 如果根结点为空，则最大深度为0；
- 计算左子树的最大深度；
- 计算右子树的最大深度；
- 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
//获取整个树的最大深度 public int maxDepth(){ return maxDepth(root); } //获取指定树x的最大深度 private int maxDepth(Node x){ if (x==null){ return 0; } //x的最大深度 int max=0; //左子树的最大深度 int maxL=0; //右子树的最大深度 int maxR=0; //计算x结点左子树的最大深度 if (x.left!=null){ maxL = maxDepth(x.left); } //计算x结点右子树的最大深度 if (x.right!=null){ maxR = maxDepth(x.right); } //比较左子树最大深度和右子树最大深度，取较大值+1即可 max = maxL>maxR?maxL+1:maxR+1; return max; }
折纸问题
需求：
请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时 折痕是凹下去的，即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。给定一 个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向 例如：N=1时，打
印： down；N=2时，打印：
down down up分析：
我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构来描述对折后产生的折痕。这棵树有这样的特点：
- 根结点为下折痕；
- 每一个结点的左子结点为下折痕；
- 每一个结点的右子结点为上折痕；
实现步骤：
- 定义结点类
- 构建深度为N的折痕树；
- 使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容；
构建深度为N的折痕树：
- 第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；
- 如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；
- 循环遍历队列：
- 从队列中拿出一个结点；
- 如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
- 如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
- 判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。
public class PagerFoldingTest { public static void main(String[] args) { //模拟这只过程，产生树 Node<String> tree = createTree(2); //遍历树，打印每个结点 printTree(tree); } //通过模拟对折N次纸，产生树 public static Node<String> createTree(int N){ //定义根结点 Node<String> root=null; for (int i = 0; i < N; i++) { //1.当前是第一次对折 if (i==0){ root = new Node<>("down",null,null); continue; } //2.当前不是第一次对折 //定义一个辅助队列，通过层序遍历的思想，找到叶子结点，叶子结点添加子节点 Queue<Node> queue = new Queue<>(); queue.enqueue(root); //循环遍历队列 while(!queue.isEmpty()){ //从队列中弹出一个结点 Node<String> tmp = queue.dequeue(); //如果有左子结点，则把左子结点放入到队列中 if (tmp.left!=null){ queue.enqueue(tmp.left); } //如果有右子结点，则把右子结点放入到队列中 if (tmp.right!=null){ queue.enqueue(tmp.right); } //如果同时没有左子结点和右子结点，那么证明该节点是叶子结点，只需要给该节点添加左子结点和右子结点即可 if (tmp.left==null && tmp.right==null){ tmp.left = new Node<String>("down", null,null); tmp.right = new Node<String>("up",null,null); } } } return root; } //打印树中每个结点到控制台 public static void printTree(Node<String> root){ //需要使用中序遍历完成 if (root==null){ return; } //打印左子树的每个结点 if (root.left!=null){ printTree(root.left); } //打印当前结点 System.out.print(root.item+" "); //打印右子树的每个结点 if (root.right!=null){ printTree(root.right); } } //结点类 private static class Node<T>{ public T item;//存储元素 public Node left; public Node right; public Node(T item, Node left, Node right) { this.item = item; this.left = left; this.right = right; } } }